Exercise 2.7 Solution Example - Hoff, A First Course in Bayesian Statistical Methods
標準ベイズ統計学 演習問題 2.7 解答例

Suppose you set \(p(E) > 1\). If you take \(p(E)\) from someone and agree to give them $1 if E occurs:

• If E occurs, your net gain is \(1 - p(E)< 0\).
• If E does not occur, your net gain is \(-p(E) < 0\).

In this scenario (giving \(p(E)\)), you are guaranteed to lose money regardless of whether E occurs or not. A rational person would want to avoid a guaranteed loss (this is known as a ). Therefore, it is a good idea to ensure \(p(E) \le 1\). (Similarly, one can show \(p(E) \ge 0\)).

Consider two bets simultaneously:

1. Bet on E: You agree to pay/charge \(p(E)\) in exchange for $1 if E occurs.
2. Bet on E^c: You agree to pay/charge \(p(E^c)\) in exchange for $1 if E^c occurs.

Let’s analyze the net gain from the perspective of giving the amounts \(p(E)\) and \(p(E^c)\):

• Case 1: E occurs (so E^c does not occur)
  • Net gain from bet 1: \(1 - p(E)\)
  • Net gain from bet 2: \(0 - p(E^c)\)
  • Total net gain: \(1 - p(E) - p(E^c)\)
• Case 2: E does not occur (so E^c occurs)
  • Net gain from bet 1: \(0 - p(E)\)
  • Net gain from bet 2: \(1 - p(E^c)\)
  • Total net gain: \(-p(E) + 1 - p(E^c)\)

In both cases, the total net gain is \(1 - p(E) - p(E^c)\).

If \(p(E) + p(E^c) \neq 1\), then the total net gain is either always positive or always negative, regardless of the outcome.

• If \(p(E) + p(E^c) < 1\), the total net gain \(1 - p(E) - p(E^c)\) is always positive. This means you have a guaranteed profit (a ).
• If \(p(E) + p(E^c) > 1\), the total net gain \(1 - p(E) - p(E^c)\) is always negative. This means you have a guaranteed loss (a ).

To avoid a guaranteed loss or profit (i.e., for the bets to be coherent), the net gain must be zero regardless of the outcome. Therefore, it must be the case that: \[1 - p(E) - p(E^c) = 0\] \[p(E) + p(E^c) = 1\] Thus, it is a good idea (necessary for coherence) to have \(p(E) + p(E^c) = 1\).

もし\(p(E) > 1\)なら、収支は \(E\)が起こると、\(1 - p(E) < 0\)、 E が起こらないと、\(-p(E) < 0 \)となる。

一方、\(p(E) \le 1\)のとき、収支は \(E\)が起こると、\(1 - p(E) \ge 0 \)、 \(E\)が起こらないと、\( -p(E) \le 0\)となる。

よって、合理的な選択の結果は、\(p(E) \le 1\)となる。

\(p(E) \le 1\) を任意に固定する。このとき、参加者の収支は、 \(E\)が起こると、\(1 - p(E) \ge 0 \)、 \(E\)が起こらないと、\(-p(E) \le 0 \)となる。

ここで、新たに、\(E^c\)を誰かに支払い、もし\(E^c\)が起こった場合は$1 もらえるという賭けをするとき、参加者の収支は、

• \(E\)が起こると、\(-p(E^c) \le 0 \)、
• \(E\)が起こらないと、\(1 - p(E^c) \ge 0 \)となる。

以上より、1 つ目と 2 つ目の賭けの合計の収支は、

• \(E\)が起こると、\(1 - p(E) - p(E^c)\)
• \(E\)が起こらないと、\(-p(E) + 1 - p(E^c)\)となり、

どちらにしろ収支は\(1 - p(E) - p(E^c)\)。

合理的な人間は、収支がゼロになるギリギリのところまでなら参加するので、 \(1 - p(E) - p(E^c) = 0\)となる\( p(E^c) \) すなわち、 \[p(E^c) = 1 - p(E)\] が選択される。よって、 \[p(E) + p(E^c) = 1\] \(p(E)\)は任意であったので、題意は示せた。