Exercise 10.1 Solution Example - Hoff, A First Course in Bayesian Statistical Methods
標準ベイズ統計学 演習問題 10.1 解答例

It is obvious that the support of the proposal distribution is positive. Therefore, it suffices to show \(J(\theta_1|\theta_0) = J(\theta_0 | \theta_1)\). Let \(\theta_1, \theta_0, \delta \) be arbitrary positive numbers, and without loss of generality, assume \(\theta_1 \ge \theta_0\).

When \(\theta_1 - \theta_0 \ge \delta\), \(J(\theta_1|\theta_0) = J(\theta_0 | \theta_1) = 0\) holds. Thus, we can only consider the case \(\theta_1 - \theta_0 < \delta \).

(i-i) When \(\theta_0 \le \delta \), and \( \theta_0 - \delta < -\theta_1 \), \(\theta_1 \) will be proposed when \(\tilde{\theta} \) equals either \(\theta_1\) or \(-\theta_1\). On the other hand, given \(\theta_1\), \(\theta_0\) will be proposed when \(\tilde{\theta} \) equals either \(\theta_0\) or \(-\theta_0\) because \( \theta_1 - \delta < -\theta_0 < 0 \le \theta_0 \le \theta_1 + \delta \).

(i-ii) When \(\theta_0 \le \delta \) and \( -\theta_1 \le \theta_0 - \delta \), \(\theta_1 \) will be proposed when \(\tilde{\theta} \) equals \(\theta_1\). Given \(\theta_1\), \(\theta_0\) will be proposed when \(\tilde{\theta} \) equals \(\theta_0\) because \(-\theta_0 \le \theta_1 - \delta < 0 \le \theta_0 \le \theta_1 + \delta \). Therefore, \(J(\theta_1|\theta_0) = J(\theta_0 | \theta_1)\) holds.

(ii) When \(\theta_0 > \delta \), \((\theta_0 - \delta, \theta_0 + \delta)\) covers only positive numbers. Thus, \(\theta_1 \) will be proposed when \(\tilde{\theta} \) equals either \(\theta_1\). Conversely, given \(\theta_1\), \(\theta_0\) will be proposed when \(\tilde{\theta} \) equals \(\theta_0\) because \(\theta_1 - \delta > 0 \). Therefore, \(J(\theta_1|\theta_0) = J(\theta_0 | \theta_1)\) holds.

In conclusion, it holds that the proposal distribution is symmetric.

提案分布が正の値のみをサポートすることは明らか。したがって、\(J(\theta_1|\theta_0) = J(\theta_0 | \theta_1)\)を示せば十分。

\(\theta_1, \theta_0, \delta \)を任意の正の数とし、一般性を失わず\(\theta_1 \ge \theta_0\)と仮定する。

(i-i) \(\theta_0 \le \delta \)かつ\( \theta_0 - \delta < -\theta_1 \)のとき、 \(\theta_1\)は\(\tilde{\theta} = \theta_1\)または\(\tilde{\theta} =-\theta_1\)のときに提案される。一方、\(\theta_1\)が与えられたとき、\( \theta_1 - \delta < -\theta_0 < 0 \le \theta_0 \le \theta_1 + \delta \)より\(\tilde{\theta} = \theta_0\)または\(\tilde{\theta} =-\theta_0\)のときに\(\theta_0\)が提案される。

(i-ii) \(\theta_0 \le \delta\) かつ \( -\theta_1 \le \theta_0 - \delta \)のとき、 \(\theta_1\)は\(\tilde{\theta} = \theta_1\)のときに提案される。一方、\(\theta_1\)が与えられたとき、\(-\theta_0 \le \theta_1 - \delta < 0 \le \theta_0 \le \theta_1 + \delta \)より\(\tilde{\theta} = \theta_0\)のときに\(\theta_0\)が提案される。

(ii) \(\theta_0 > \delta \)のとき、\((\theta_0 - \delta, \theta_0 + \delta)\)は正の数のみをカバーする。したがって、\(\theta_1\)は\(\tilde{\theta} = \theta_1\)のときのみに提案される。逆に、\(\theta_1\)が与えられたとき、\(\theta_1 - \delta > 0 \)より\(\tilde{\theta} = \theta_0\)のときに\(\theta_0\)が提案される。

提案分布は一様分布であることから、以上の議論により対称性が示された。